Нужно ли, чтобы программа была открыта и подключена к Интернету, чтобы получать напоминания?

Нет, все напоминания хранятся в mediteo. Если вы разрешили mediteo доступ к вашим сообщениям (iOS) или игнорируете оптимизацию батареи (Android), вы будете получать напоминания, даже если программу закрыто или не подключено к Интернету.